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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 _.~|e(  
F24ALd%_9  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 5QshZu:Q  
TEGhYxG  
　　1、三角函数本质： k~:/?KO  
f %ohsM  
　　三角函数的本质来源于定义 gniS?%1M  
]h@ ej  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 b5I[zv  
#gcL#  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Mx02-H  
ea<ZOr  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： wLq#IZ.v  
2 %!K/TLN  
　　推导： b&1,U  
plT,~'J^  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 qcZ+H *  
v.*Od  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) fX{ubLIh  
5ziv.@.6  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) lW=!PL~  
LGzJE2/n8  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 W*_zF"c  
_2>DV76  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Lb<Gj0\>w  
qg-zFz  
　　[1] BgDwCk^5\  
|ty#*^S\  
　　两角和公式 QV/n*m5?  
[QPRR&Mg  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB  Qw" D4  
aoezM!xL9  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  3`[)f9'c};  
B1Ln +E  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB K76({  
a*lfxHy=o  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 0UZ FNYcf  
kgNW}V C  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =F"5-  
:jyj!yRpo  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 5h,16'uUr{  
bDuaM R,'  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  +ef[+O  
m]{\D~Ni  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) `$JBZ.@n  
idzwm^V  
倍角公式 P /\!p  
ehN G3w4T  
　　Sin2A=2SinA•CosA OHpcr+#q  
^wB91Q#9  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 P%9iKb?P  
,t|-C@~l  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ,r%SGn3r  
}f' Ms(@  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） *e-xCu"  
W%h-8rA  
三倍角公式 &/'AZb lPs  
yQqX89`N!q  
　　 T.5v?h/}  
wS|Pg;~n  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) .NbpO,\  
:x`nD5%  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) }r5rS9s)  
E5 eF%  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ufa uH .!  
KW/S0U')  
三倍角公式推导 FDS N{E9  
MN*{N%  
　　sin3a FHP\hhy:  
RO<P y2#Q  
　　=sin(2a+a) 4oh'DO  
\nNSzb(7U  
　　=sin2acosa+cos2asina v4#y)R[_$  
#VAS+)  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina l-#FnU*  
V w0=>v0^  
　　=3sina-4sin³a 2R%Lqm %  
h(\tcb&m  
　　cos3a v&%)zK>5  
anVT=:Li  
　　=cos(2a+a) ;99UJ2M (  
9:4~rd2  
　　=cos2acosa-sin2asina S ,I ;vB  
^OYBI-  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa B>Bv>|F{1  
c%( |<(  
　　=4cos³a-3cosa {;YVfs;z{  
ouVO}HB  
　　sin3a=3sina-4sin³a K.*h7|7/_  
,xt.dN"dU~  
　　=4sina(3/4-sin²a) uN1p4  
Y7x[."?  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] X7>mthJ=uo  
A\7YHsU}  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) H m+Ue"K  
W0y?IG^  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) $}5V^ZBk  
 NTXFeO  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 3 RiC$o I  
lMH>Or_4[  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 7=bQ\~c  
pDJYXl  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 'r*)t3~N  
P SG?A90b  
　　=4cosa(cos²a-3/4) $p ednC2  
WY362z4t  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )p 2y!c -  
":AJY|L;  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) #bR-fzIg  
SqffNq  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) $6gXMuA  
'zRk E[Y  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} {L%5!A_ln  
Z P.SR$k  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 0ai}L<  
XVbEs#4v_j  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Y}hM;9w  
'H `C0q  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] -"r+sTYU  
*Iov  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 9!#<<~gQD  
fm{+Vf--  
　　上述两式相比可得 z>Q{Bfp[e  
,RB}|-P  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) tFa.7nTeg  
 ;t |J  
半角公式 X062"L?  
_JW,]C|K3  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); (W^OL^  
uB.)Y1+  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. =[$F}I/  
"Z,O-@  
和差化积 5%1UjnR |  
 8Sk~  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 4B&gD\W   
=pJ {F^  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X8.D|!   
wbr Yp6L_  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5=8rjBVQ*  
2H7I*$lN\  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 0:pZ !  
Ic4t{e/ .  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) U3u8<)  
u]H]m:nJ  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) fgjf e  
b5Q-+*6  
积化和差 JD_35CJ  
w95\.F9h  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] LywR] *yh  
aytp{K,  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] QMF3*w  
`pE=y0!  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Vw3Ex/  
TM[Tkp6  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] b';G TwZ  
>>R%`a<  
诱导公式 p@ JPoC%"  
4=rsoZM  
　　sin(-α) = -sinα rj7n l }  
lq#]~j5 `  
　　cos(-α) = cosα ^'.eGD::  
Gr7F  
　　sin(π/2-α) = cosα oA.@]<  
~hT|&LvwB  
　　cos(π/2-α) = sinα {J]h>P  
sf^JaM 2%B  
　　sin(π/2+α) = cosα "X(DPJ|j#Y  
> -Iz'  
　　cos(π/2+α) = -sinα _X86 MH  
%sM ;> W  
　　sin(π-α) = sinα VtZjEY  
9#EM!l &a  
　　cos(π-α) = -cosα g))0;1+q  
:H/WTr1  
　　sin(π+α) = -sinα ;@[ V5?&l  
4*T[-pum  
　　cos(π+α) = -cosα "m N.s_ O-  
yzZ8kedvd  
　　tanA= sinA/cosA *DgD[k*  
gAcA\  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα =0anD?}4)  
UaR=r<G0  
　　tan（π/2－α）＝cotα f|:I`CDl#  
[F~]n<  
　　tan（π－α）＝－tanα Qc:K  
<c3q/ q  
　　tan（π＋α）＝tanα oHuT}\*n%  
TU$^?fT!  
万能公式 drBBdt|u'  
pH#pY?,  
　　 U0,#Y$*)  
I_B=9|VN  
其它公式 hz8"&3Iy`E  
xuzyd7:~  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ksO 7y9;  
o+.JdIKv  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 OCP@&1I  
bxoTq xm  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 DI0_HGi  
.~N*)$  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 `_ntpT~'[  
zh:0>  
　　对于任意非直角三角形,总有 M^}VBV}  
Y(CkdoHs  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC mA7e:Xx  
c(?qU;]  
　　证: /b8ug$$ @  
A i;~$w  
　　A+B=π-C ! tE2wr  
[O*zi4eV  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 4ud4txG"  
vcRf>U  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) vTmgO8pi`u  
`V!A_j0  
　　整理可得 ^x)vlvB/_  
oZop*= 6o  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC /Hsg$c'  
(qZ?}>#  
　　得证 1f1x\4o w  
5@hs2i?Q  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 - y]WU  
z=0h(9_  
其他非重点三角函数 {F02j!J  
R'E8)v  
　　csc(a) = 1/sin(a) yjL8w%h&  
|J9_{Y  
　　sec(a) = 1/cos(a) BQI0s=(  
!E-rZ'QL  
　　 v3O11d0  
\I<e}FaO  
双曲函数 ')Cq} +_  
7KY&&?*W  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 M)W?T u?  
@P0mptHy  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 cKrxw]U  
n@tjBW=%d  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Q [}z<ey  
(*F(WI?x  
　　公式一： ~sv zoAj  
"1@UOX_s  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：  5n=>  
|3})i*TV  
　　sin（2kπ＋α）= sinα -H2#[  
h &wq%rr  
　　cos（2kπ＋α）= cosα w} ehU&f  
WS$P`7Fd+  
　　tan（kπ＋α）= tanα OyCU4Z%#  
4Q70$]8\h  
　　cot（kπ＋α）= cotα d58"K_1B+  
QnZWA.  
　　公式二： .* 0w<M  
mguD\z?   
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： *Qxz+L86  
,}4|p9*0  
　　sin（π＋α）= -sinα 9$oZy>f+  
r4.Lt,G  
　　cos（π＋α）= -cosα @E/|V4X*8  
mLN_ 6nsn  
　　tan（π＋α）= tanα 6uo.{c8O  
eve?d  
　　cot（π＋α）= cotα /XN]w}At${  
Ug._+  
　　公式三： A ZA^_;o  
.5jF)@^c  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： DEXnIs8`5k  
g%;IK'xp?  
　　sin（-α）= -sinα T5JL6Pyb`  
[p #&kl  
　　cos（-α）= cosα 6Oa+=(=  
CuA/MwKu  
　　tan（-α）= -tanα .}06AhM|l  
7cN/dZ`2  
　　cot（-α）= -cotα G R7L1xT4  
Yw$zx6cg#  
　　公式四： ]W6WZ_.  
r4d>@NZ3  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ~[<:'=(a  
BC^?{l@/u  
　　sin（π-α）= sinα MziAJe!  
,L6B`jad  
　　cos（π-α）= -cosα R`XVk<P  
XuKrL?ch  
　　tan（π-α）= -tanα [@(xM  
~j&*2~d  
　　cot（π-α）= -cotα _kG~5Y$P  
 \~-|X 3  
　　公式五： Svd4ci1$y  
8%5i,8  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： *L/.N zvL  
)#a_ Cj  
　　sin（2π-α）= -sinα |5Ue&1-y  
P+;@}? -`  
　　cos（2π-α）= cosα 'P@ TZe{  
z] {!s`  
　　tan（2π-α）= -tanα e0SUlbiA  
b!xcgBWU!  
　　cot（2π-α）= -cotα 4`_Zc] ak2  
E^)\~zv(Z  
　　公式六： %r.z-gU  
_D;]E&Ny  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： XyrD{<~)  
T-x 6G=3  
　　sin（π/2+α）= cosα MM $rsJ^  
sV@Ag .  
　　cos（π/2+α）= -sinα -N 2\u|C8  
fcj#Zmbw\w  
　　tan（π/2+α）= -cotα Whf"GSU}  
VM.hEx  
　　cot（π/2+α）= -tanα Dj*SoMV|v  
ql L.=L2  
　　sin（π/2-α）= cosα xCBQZ- j  
crstlq3>  
　　cos（π/2-α）= sinα )V&h01l1  
x(6p>h,  
　　tan（π/2-α）= cotα $0i[oR Q<>  
Zm]SPHLd  
　　cot（π/2-α）= tanα N0K5@w6Zb  
rk*,-  
　　sin（3π/2+α）= -cosα u/ogXT<  
|x0~SAT7-  
　　cos（3π/2+α）= sinα 461`:4CIU  
=oE0B ~PU  
　　tan（3π/2+α）= -cotα SH'<xx  
q z\R4|8:[  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 7'(@txt  
?6$[Kyp^R0  
　　sin（3π/2-α）= -cosα QkY_ZW,?  
MWB)}^55  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 1oN%B+;1q  
~z6crzD0  
　　tan（3π/2-α）= cotα uvMS:Wn  
YwDhem4eI  
　　cot（3π/2-α）= tanα Q6a]S6L  
1/I0yf`9  
　　(以上k∈Z) roI$>nvz  
73Mgy9;iJ  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 {p#GG|XP  
jPRAg^;"rN  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = fpnL%:^  
k (IA (?=  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } E7k8Z gAi  
,X A6fH$,)  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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